Determinación de la velocidad de traslación del vórtice anular mediante expansión multipolar

Abstract

Se estableció analíticamente el campo de velocidad inducido por un vórtice anular de relación de aspecto pequeña (r1/r0 donde r0 es el radio de la línea central del vórtice y r1 el radio de su sección transversal), con el objeto de establecer la velocidad de traslación, Γ/4πr0[log(8r0/r1)−1/4], de un vórtice anular con circulación Γ. El campo inducido fue obtenido por la ley de Biot-Savart mediante el método de expansión multipolar, y la traslación fue determinada por la comparación entre los campos obtenidos y la condición material que se satisface sobre la superficie del vórtice. La formulación presentada resulta alternativa respecto a otros métodos ya utilizados para este propósito; sin embargo su ventaja radica en la posibilidad de implementarlo a estructuras vorticales más complejas. La solución encontrada muestra que la velocidad de traslación clásicamente reportada corresponde a una solución de primer orden en el método de expansión multipolar, orden correspondiente a los efectos que la curvatura del vórtice tiene sobre la distribución de vorticidad en su sección transversal.

The velocity field of a vortex ring is established considering a small aspect ratio (r1/r0, where r0 is the radius of the vortex central line and r1 is the radius of cross section),for the purpose of finding the translation velocity, Γ/4πr0[log(8r0/r1) − 1/4], of the ring vortex with circulation Γ. The induced field is calculated through the Biot-Savart law using a multipole expansion; thus the translation velocity is determined by means of the comparison between the derived field and the substantial condition on the vortex surface. The formulation presented in this work is an alternative to the conventional methods in vortex dynamics. However, it offers an advantage related to the study of more complex vortical structures. The achieved results show that the translation velocity corresponds to the first order solution of the multipole expansion; which concerns curvature effects on the vorticity distribution of the cross section.