A water wave mixed type problem: existence of periodictravelling waves for a 2D Boussinesq system

Abstract

In this paper we establish the existence of periodic travelling waves for a 2D Boussinesq type system in threedimensional water-wave dynamics in the weakly nonlinear long-wave regime. For wave speed |c| > 1 and large surface tension, we are able to characterize these solutions through spatial dynamics by reducing a linearly ill-posed mixed type initial value problem to a center manifold of finite dimension and infinite codimension. We will see that this center manifold contains all globally defined small-amplitude solutions of the travelling wave equation for the Boussinesq system that are periodic in the direction of propagation.

En este artículo establecemos un resultado de existencia de ondas periódicas para un sistema 2D del tipo Boussinesq que describe la evolución de ondas de agua de gran elongación y pequeña ampitud que son débilmente lineales. Para velocidad de onda | c | > 1 y tensión superficial suficientemente grande, estas soluciones son caracterizadas a través de dinámica espacial al reducir el problema de valor inicial (mal puesto a nivel lineal) a una variedad central de dimensión finita y codimensión infinita. Se mostrará que dicha variedad central contiene todas las soluciones de onda viajera de pequenã amplitud para el sistema tipo Boussinesq que son periódicas en la dirección de propa- gación de la onda.