Topological properties of spaces of projective unitary representations

Abstract

Sea G un grupo de Lie compacto y conexo y PU(H) el grupo de operadores proyectivos e unitarios en un espacio de Hilbert separable e infinito dimensional H, provisto de la topología fuerte de operadores. Estudiamos el espacio homst(G,PU(H)) de homomorfismos continuos desde G a PU (H) que son estables, es decir homomorfismos cuyas representaciones inducidas contienen cada representación irreducible un número infinito de veces. Demostramos que las componentes conexas del espacio homst(G,PU(H)) están parametrizadas por las clases de isomorfía de extensiones centrales de G por el grupo S1, y que cada componente conexa tiene por grupo fundamental al grupo hom(G,S1) y sus grupos de homotopía superiores son triviales. Estudiamos la aplicación conjugación PU(H)→homst(G,PU(H)),F→FαF−1 , demostramos que no tiene secciones locales y demostramos que para cualquier aplicación continua B→homst(G,PU(H)) con B paracompacto de dimensión paracompacta finita, los levantamientos locales a PU (H) sí existen.

Let G be a compact and connected Lie group and PU(H) be the group of projective unitary operators on a separable Hilbert space H endowed with the strong operator topology. We study the space Hom_{st}(G,PU(H)) of continuous homomorphisms from G to PU(H) which are stable, namely the homomorphisms whose induced representation contains each irreducible representation an infinitely number of times. We show that the connected components of Hom_{st}(G,PU(H)) are parametrized by the isomorphism classes of S^1- entral extensions of G, and that each connected component has the group Hom(G,S^1) for fundamental group and trivial higher homotopy groups. We study the conjugation map PU(H) -> Hom_{st}(G,PU(H)), F |-> F\alpha F^{-1}, we show that it has no local cross sections and we prove that for a map B -> Hom_{st}(G,PU(H)) with B paracompact, local lifts to PU(H) do exist.