Doce lecciones de cálculo vectorial

Abstract

El presente texto es el resultado de la reexi´on de los autores, acerca de la ense˜nanza y el aprendizaje del curso de c´alculo vectorial para estudiantes de ingenier´a, realizada por m´as de 10 a˜nos en la Escuela Colombiana de ingenier´a. Inicialmente se trabaj´o cada uno de los cap´tulos como notas de clase para el curso en el marco de una propuesta metodol´ogica diferente en la cual se prioriz´o la comprensi´on profunda de los conceptos sobre el desarrollo de habilidades para resolver ejercicios tipo. Nuestra propuesta en este texto es estudiar las funciones denidas de Rn en Rm para n = 1, 2, 3 ym = 1, 2, 3 y algunas aplicaciones de la diferenciabilidad e integraci´on de estas funciones a la f´sica, mediante la parametrizaci´on de diferentes objetos geom´etricos en el espacio: curvas, supercies y s´olidos. Con- sideramos que esta forma de abordar el curso le permite al estudiante acceder de manera m´as concreta a la tem´atica del curso. El contenido se desarrolla en 12 lecciones, cada una de las cuales se puede cubrir completamente en una semana de clase. Los ejercicios propuestos en cada lecci´on permiten ejemplicar la teor´a y desarrollar habilidad en hacer c´alculos a partir del an´alisis de las situaciones y el entendimiento del manejo y uso de las herramientas. Es por esto que evitamos la presentaci´on de ejemplos que pudieran ser utilizados como protocolos para hacer determinado tipo de ejercicios. En la primera lecci´on se hace un recuento de los sistemas de coordenadas rectangulares para el plano y el espacio, de los vectores geom´etricoy de las representaciones de algunos lugares geom´etricos, rectas y planos, mediante ecuaciones. En la segunda lecci´on se introducen los sistemas de coordenadas cil´ndricas y esf´ericas para el espacio, haciendo especial ´enfasis en el manejode cada sistema por separado, no en el paso de un sistema a otro, as´ıcomoen la representaci´on de lugares geom´etricos mediante ecuaciones e inecuaciones en cada sistema. En la tercera lecci´on se estudian las funciones vectoriales definidas de k-celdas en R2 y R3 para k =1, 2, 3, haciendo especial ´enfasis en el caso de 1-celdas y el uso de estas funciones para modelar el movimiento en el espacio. Posteriormente, considerando estas funciones como parametrizaciones de curvas, se llega a la parametrizaci´on de superficies y s´olidos para, desde esta perspectiva, adentrarse al estudio de la geometr´ıa de curvas y su- perficies. En las lecciones 4 aa77se estudianloscampos escalares: funcionesdefinidas de un subconjunto de Rn en R, centrando el estudio en los casos de n =2yn =3. Se inicia en la lecci´on 4 con una caracterizaci´on topol´ogica de los dominios de estas funciones. Luego se aborda el concepto de l´ımite desde una generalizaci´on del concepto de l´ımite lateral de las funciones de una variable real. Esta generalizaci´on se hace por medio de lo que denominamos acercamiento a un punto, perspectiva que nos permite abordar el concepto utilizando todas las herramientas desarrolladas para las funciones de una variable. Continuamos en la lecci´on 5 con la misma estrategia, definiendo el paso por un punto en una direcci´on y a partir de lo cual, se define la derivada direccional, para terminar con un estudio detallado de la diferenciabilidad. En la lecci´on 6, desde la misma ´optica se estudia la regla de la cadena, dando sentido al vector gradiente de funciones diferenciables. En la lecci´on 7 se desarrolla el tema de valores extremos de funciones, involucrando el concepto de paso por un punto para poder dar sentido y deducir el criterio utilizado para las funciones de dos variables y a la t´ecnica de Multiplicadores de Lagrange. En las lecciones 8 y 9 se aborda el concepto de integral de funciones escalares sobre curvas, superficies y s´olidos, comenzando por la definici´on de las sumas de Riemann sobre 1-celdas, 2-celdas y 3-celdas, pasando a integrales iteradas y luego, usando parametrizaciones para definir las integrales sobre dominios m´as generales, logramos presentar la integral de manera unificada y con un enfoque geom´etrico. En las lecciones 10 y 11 se introducen los campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales y algunos de los conceptos m´as importantes, desde el punto de vista f´ısico, que dar´an sentido a los Teoremas Fundamentales, como son flujo, circulaci´on, densidad rotacional, densidad de expansi´on y campos gra- diente. La circulaci´on de un campo a lo largo de una curva es fundamental para definir los conceptos de superficies cerradas, superficies con borde y borde de una superficie. De la misma forma en que se defini´o este´ultimo, definimos superficie (o borde) de un s´olido. En estas mismas secciones, se definen los elementos de integraci´on vectoriales de longitud, ´area y volumen para terminar con la integraci´on de campos vectoriales sobre curvas, superficies y s´olidos y los Teoremas fundamentales: Green, Stokes y Divergencia, planteados en t´erminos de la medici´on de la expansi´on y la rotaci´on. Por ´ultimo, en la lecci´on 12 se demuestran los Teoremas Fundamentales de una forma muy geom´etrica, entendible para un estudiante de ingenier´ıa. Agradecemos a los profesores de la Escuela Colombiana de Ingenier´ıa que participaron en la propuesta metodol´ogica del curso de c´alculo vectorial de la que surgi´o este texto. Especialmente queremos agradecer a los profesores Oscar Pulido, Boris Pulido, Eduardo Brieva, Nicol´as Espitia, Leonardo Guti´errez y Richar Ria˜no quienes hicieron aportes, tanto de contenido, como de ejercicios. Al estudiante Carlos Antonio Pinz´on quien realiz´o algunos aportes te´oricos importantes. El profesor Richar Ria˜no escribi´o la demostraci´on del Teorema del Cambio de Variable que hemos incluido en el Ap´endice. Todas las gr´aficas del texto son creaciones originales de Santiago Acosta Arreaza quien, usando su talento para comprender y manipular los paquetes gr´aficos de LATEX, logr´o plasmar en las im´agenes los conceptos m´as relevantes de la teor´ıa, lo que requiri´o un esfuerzo y una dedicaci´on invaluables.